串联 RLC 电路分析
串联 RLC 电路由一个电阻、电容和电感串联连接在交流电源上。
到目前为止，我们已经看到，当把三种基本无源元件——电阻（Resistance）、电感（Inductance）和电容（Capacitance）——连接到正弦交流电压时，它们之间的相位关系有很大差异。但我们可以将这些无源元件串联，形成一个串联 RLC 电路，并将其与交流电源相连。
在纯欧姆电阻中，电压波形与电流同相；
在纯电感中，电压波形超前电流 90°，因此记作 ELI；
在纯电容中，电压波形滞后电流 90°，因此记作 ICE。
这个相位差 \theta取决于所用元件的电抗值（reactance， X）
当元件为电阻性时 X=0；
为电感性时 X>0；
为电容性时 X<0
从而它们的阻抗（impedance， Z）分别为：
元件阻抗
与其分别分析每个无源元件，我们可以将三者组合成一个串联 RLC 电路。串联 RLC 电路的分析与之前研究的串联 RL 和串联 RC 电路相同，只不过这一次需要同时考虑 X_L 和 X_C 的幅值，以求得整个电路的总电抗。串联 RLC 电路被归为二阶电路second-order，因为它包含两个储能元件：电感 L 和电容 C。下面考虑下图所示的 RLC 电路：
串联RLC电路
上图所示的串联 RLC 电路只有一个回路，流经电路的瞬时电流在每个元件中均相同。由于电感和电容的电抗 X_L 和 X_C 都随电源频率 f 而变化，串联 RLC 电路的正弦响应也会随频率改变。因此，流过电阻 R、电感 L 和电容 C 各元件的电压降在相位上会出现如下差异：
纯电阻上的瞬时电压 V_R 与电流“同相”
纯电感上的瞬时电压 V_L 相对于电流“超前”90°
纯电容上的瞬时电压 V_C 相对于电流“滞后”90°
因此， V_L 与 V_C 相位相差180°，彼此相互抵消
对于上述串联 RLC 电路，其相量示意可表示为：
在串联 RLC 电路中，电源电压的幅值由三个元件上的电压—— V_R、V_L 和 V_C 组成，且三者共用同一电流。因此，在矢量图中以电流矢量为参考，将三个电压矢量分别相对于该参考绘制，如下所示：
各电压矢量
这就意味着，我们不能简单地将 V_R、V_L 和 V_C 相加来得到跨在这三种元件上的电源电压 V_S，因为这三者的电压矢量相对于电流矢量指向不同的方向。因此，我们必须将这三个元件的电压矢量以相量形式矢量相加，才能得到电源电压 V_S。
基尔霍夫电压定律（KVL）对回路和节点电路均适用，它指出：在任何闭合回路中，各电压降之和等于电动势之和。将此定律应用于上述三个电压，就能求得电源电压 V_S 的幅值。
串联 RLC 电路的瞬时电压
串联 RLC 电路的相量图是将上述三个独立的相量组合起来，并以矢量方式相加这些电压而得到的。由于流过电路的电流在三个元件中相同，因此可将电流相量作为参考矢量，并按照各自的相位角在参考矢量的基础上绘制三个电压相量。
得到的电源电压相量 V_S，可先将两个电压相量 V_L 和 V_C 矢量相加，再将此合成矢量与剩余的电压相量 V_R 相加。 V_S 与电流 i 之间形成的角度即为电路的相位角，如下所示。
串联 RLC 电路的相量图
从上图右侧的相量图可以看出，电压矢量构成了一个直角三角形，其中斜边为 V_S，水平轴为 V_R，垂直轴为 V_L - V_C。希望你能注意到，这正是我们熟悉的电压三角形，因此我们可以在这个电压三角形上应用勾股定理，来数学地求出 V_S 的值，如下所示。
串联 RLC 电路的电压三角形
请注意，在使用上述方程时，最终的无功电压必须始终为正值，也就是说应始终用较大的电压减去较小的电压；我们不能将负电压加到 V_R 上，所以写成 V_L - V_C 或 V_C - V_L 都是正确的，前提是要用较大的值减去较小的值，否则计算出的 V_S 将不正确。（也就是绝对值的意思）
如上所述，在串联 RLC 电路中，电流在所有元件中的幅值和相位均相同。因此，每个元件上的电压也可以根据流过的电流，用数学形式表示为：
通过将这些值代入上述电压三角形的勾股定理公式，我们将得到：
由此可见，电源电压的幅值与流过电路的电流幅值成正比。这个比例常数称为电路的阻抗（Impedance），它最终取决于电阻 R 以及电感和电容的电抗 X_L 和 X_C。
在上述串联 RLC 电路中，电流所受的总阻抗由三部分组成： X_L、X_C 和 R。任意串联 RLC 电路的总无功电抗 X_T 定义为：
因此，电路的总阻抗可视为驱动电流流过该电路所需的电压与电流之比。
串联 RLC 电路的阻抗
由于三个电压矢量彼此错相， R、X_L 和 X_C 之间也必须错相，其关系即这三者的矢量和。通过矢量相加可得到电路的总阻抗 Z。这些阻抗可以用阻抗三角形来表示，如下所示：
串联 RLC 电路的阻抗三角形
串联 RLC 电路的阻抗 Z 与角频率 \omega 有关，电感电抗 X_L 和电容电抗 X_C 亦是如此。如果电容电抗大于电感电抗（ X_C > X_L），则电路的总体电抗呈电容性，产生超前相位角。
同样地，如果电感电抗大于电容电抗（ X_L > X_C），则总体电抗呈电感性，使串联电路产生滞后相位角。当两者电抗相等（ X_L = X_C）时，发生这种情况的角频率称为共振频率，在此会产生共振resonance效应，我们将在另一个教程中更详细地讨论。
因此，电路中电流的幅值取决于施加于串联 RLC 电路的频率。当阻抗 Z 达到最大时，电流为最小；反之，当阻抗 Z 达到最小时，电流为最大。于是，上述阻抗公式可以重写为：
电源电压 V_S 与电流 i 之间的相位角 \theta，与阻抗三角形中 Z 与 R 之间的角度相同。该相位角可为正或负，取决于电源电压是领先还是滞后于电路电流，并可根据阻抗三角形的欧姆值，通过以下数学公式计算：
串联RLC电路示例1
一个串联 RLC 电路，包含一个 12 Ω 的电阻、0.15 H 的电感和 100 μF 的电容，连接在一个 100 V、50 Hz 的交流电源上。计算该电路的总阻抗、流过电路的电流、功率因数，并绘制电压相量图。
电感电抗：
电容电抗：
总阻抗：
电路电流：
各元件电压幅值：
功率因数与相位角：
相位图:
由于相位角 \theta 被算作正值 51.8^\circ，电路的总体电抗必定是电感性的。因为在串联 RLC 电路中我们已将电流矢量作为参考矢量，所以电流相比电源电压落后 51.8^\circ，相位角为滞后，这也正符合我们的助记 “ELI”。
总结
在包含电阻 R、电感 L 和电容 C 的串联 RLC 电路中，电源电压 V_S 是由三个分量 V_R、V_L 和 V_C 的相量和构成，三者共用同一电流 I。
由于电流 I 在所有元件中相同，因此在绘制电压三角形时，电流相量被用作水平参考轴。
电路的阻抗 Z 表示对电流流动的总阻碍。对于串联 RLC 电路，可通过将电压三角形的各边除以电流 I 来得到对应的阻抗三角形：
电阻元件上的电压降为 I\times R，
两个无功元件上的电压净降为 I\times X = I\,X_L - I\,X_C，
电源电压为 I\times Z。 三角形中 V_S 与 I 之间的角度即为相位角 \theta。
如果串联 RLC 电路中包含多个纯或非纯的电阻、电容或电感元件，则可以将同类元件合并成一个等效元件。例如：
R_T = R_1 + R_2 + R_3 + \dots,\quad L_T = L_1 + L_2 + L_3 + \dots这样就能将包含多个元件的复杂电路简化为一个等效阻抗。
在下一个关于并联 RLC 电路的教程中，我们将研究这三个元件以并联电路方式连接时，在施加稳态正弦交流波形时的电压–电流关系，并给出相应的相量图表示。我们还将首次引入导纳（Admittance）的概念。
附件
二阶电路
“二阶电路”指的是其描述方程（电压或电流的微分方程）的阶数为 2 的电路。通俗地说，它具有两个独立的储能元件（ L 和 C），因此其动态特性由二阶常微分方程来描述。主要特点有：
储能元件个数 串联
RLC电路中既有一个电感 L，又有一个电容 C，总共两个储能元件。微分方程阶数 应用基尔霍夫电压定律后，会得到包含二阶导数项（来自 L）和一阶导数项（来自 R）、以及零阶项（来自 C）的二阶常微分方程：
L\,\frac{d^2i}{dt^2} + R\,\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}\,i = v_{\text{in}}(t)自然响应特性 二阶系统的自然响应一般由两个指数（或一对复共轭极点）决定，可能是过阻尼、临界阻尼或欠阻尼三种情况。
频率响应 二阶电路的频率响应会出现共振峰，中心频率 \omega_0 = \tfrac{1}{\sqrt{LC}}，品质因数 Q = \tfrac{\omega_0 L}{R}。
单词表
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